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韩 信 点 兵

作者:杨老师 来自:杨老师在线 时间:2007-1-25

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我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次按1~3报数,第二次按1~5报数,第三次按1~7报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为“鬼谷算”、 “隔墙算”、“秦王暗点兵”等。

    这种问题在《孙子算经》中也有记载:“今有物不知其数:三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?” 它的意思就是,有一些物品,如果3个3个的数,最后剩2个;如果5个5个的数,最后剩3个;如果7个7个的数,最后剩2个;求这些物品一共有多少?这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”, 西方数学家把它称为“中国剩余定理”。到现在,这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。

    到了明代,数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀:

    三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;
    七子团圆正半月,除百零五便得知。

    用现在的话来说就是:一个数用3除,除得的余数乘70;用5除,除得的余数乘21;用7除,除得的余数乘15。最后把这些乘积加起来再减去105的倍数,就知道这个数是多少。

    《孙子算经》中这个问题的算法是:

    70×2+21×3+15×2=233
    233-105-105=23

    所以这些物品最少有23个。

    根据上面的算法,韩信点兵时,必须先知道部队的大约人数,否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗?

    这是因为,

    被5、7整除,而被3除余1的最小正整数是70。

    被3、7整除,而被5除余1的最小正整数是21;

    被3、5整除,而被7除余1的最小正整数是15;

    所以,这三个数的和15×2+21×3+70×2,必然具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。

    以上解法的道理在于:

    被3、5整除,而被7除余1的最小正整数是15;
    被3、7整除,而被5除余1的最小正整数是21;
    被5、7整除,而被3除余1的最小正整数是70。

    因此,被3、5整除,而被7除余2的最小正整数是 15×2=30;

    被3、7整除,而被5除余3的最小正整数是 21×3=63;

    被5、7整除,而被3除余2的最小正整数是 70×2=140。

    于是和数15×2+21×3+70×2,必具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。但所得结果233(30+63+140=233)不一定是满足上述性质的最小正整数,故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍,直至差小于105为止,即 233-1O5-105=23。所以23就是被3除余2,被5除余3,被7除余2的最小正整数。

    我国古算书中给出的上述四句歌诀,实际上是特殊情况下给出了一次同余式组解的定理。在1247年,秦九韶著《数书九章》,首创“大衍求一术”,给出了一次同余式组的一般求解方法。在欧洲,直到18世纪,欧拉、拉格朗日(Lagrange,1736~1813,法国数学家)等,都曾对一次同余式问题进行过研究;德国数学家高斯,在1801年出版的《算术探究》中,才明确地写出了一次同余式组的求解定理。当《孙子算经》中的“物不知数”问题解法于1852年经英国传教士伟烈亚力(Wylie Alexander,1815~1887)传到欧洲后,1874年德国人马提生(Matthiessen,1830~1906)指出孙子的解法符合高斯的求解定理。从而在西方数学著作中就将一次同余式组的求解定理称誉为“中国剩余定理”。

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