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决定π近似值的投针实验

作者:杨老师 来自:杨老师在线 时间:2007-1-25

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圆周率π的近似值是3.14159……。我国古代数学家刘徽、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有卓越贡献。要计算圆周率,方法很多,现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法.

预备一些粗细均匀的小针,每枚约长2厘米。另外在一张白纸上划出许多平行线,各线间的距离是小针长度的两倍。准备好以后,就把小针一只一只从高处投在纸上,并不断记录小针和任意一条平行线相交的次数。如果投掷的总次数非常之多,那末用投掷总次数除以小针碰线的次数,就得到π的近似值。这是什么道理呢?

首先,我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。小针和直线相交时,这个交点一定是在这2厘米长中的一处,任意1毫米都不会有更优越的机会。因此如果针上某段长1毫米,则这一段可能相交的次数是k;如果是7毫米,则这一段可能相交的次数便是k。总而言之,最可能相交的次数是与针的长度成正比的。

即使把小针弄成弯曲的形状,这个比值也仍然是对的。譬如说,把针弯成拆线状的两段,一段是7毫米,另一段是13毫米;那末,这两段可能相交的次数分别是kk,加起来仍旧是k。我们还可以把针弯曲得更厉害一些,可能相交的次数也不会因此而发生改变。不过在投掷弯曲了的小钟时,它可能同时在几个地方和直线相交,那时,必须把每一个交点数都计算在内。

我们知道,当正多边形的边数无限增多时,它的极限是圆。所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等,那末这个圆形小针投掷下来时,不是和一条直线相交两次,就是和两条相邻的平行线相切。不管怎样,它的相交次数是2。因此,当投掷的次数为n时,碰线的次数便是 2n

现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半,所以针的长度只有上述圆形小针长度(即圆周长)的。但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的,因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式:

1: =2n: k

于是就得到π=,也就是

 

π=   投掷总次数  
   碰线次数

这就是上面“投针实验”的理论根据。它又叫莆丰氏实验,在概率论中是很出名的,也可以说是近代的“统计试验法”(又叫“蒙特卡罗法”)的滥(lān)觞(shāng)。

据记载,19世纪中叶,瑞士数学工作者服尔夫曾经实地予以试验,他一共投掷了五千次,结果得到π的近似值为3.1596。

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