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形数结合,相辅相成

作者:杨老师 来自:杨老师在线 时间:2007-1-25

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  有这样一道题:

  如图1,矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形,现在只知道中间一个小正方形的面积是1,求矩形ABCD的面积。

  题目本身是关于图形的知识,但是又无法用几何方法解决。数学中常常会遇到这样一些问题,需要用代数方法去解,则不但思路清晰,而且解法多样。

  解法1:如图1,设小正方形的各边的长分别为x、y、z、t,则可得方程组

                     

                                  图1  

   所以矩形ABCD的面积=AD·DC=(2x+y(x+t)=13×11=143。

  解法2:如图2,设其中一个正方形的边长DE=x,则其余各正方形的边长如图所示。这时,

                               

                                             图2 


  由矩形ABCD的对边AD=BC,可得

  x+x+(x+1)=(x+2)+(x+3),可解得x=4; 

  类似地,由带阴影部分的正方形的对边的关系,也可得x+x-1=x+3,从而解得x=4。

  依然可以求得矩形ABCD的面积为143。

  顺便指出:到初二学习了一元二次方程以后,我们还可以通过面积关系解决此题。

  大家知道,数学研究的对象是表和数两个方面,虽然这两个方面被分别纳入代数、几何两个学科中,但形和数之间特别是在生产、生活实践中,它们总是相辅相成的,我们常常需要借助数与形的互相转换来解决问题。因而,在我们刚刚开始学习中学数学时,就应该建立这种形、数结合的概念。

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