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六边形与自然界

作者:杨老师 来自:杨老师在线 时间:2007-1-25

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对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源。

                      ──约瑟夫·傅里叶

数学与自然界之间的联系是很丰富的。来自不同数学领域的对象和形状出现在许多自然现象中。

六边形有什么特点使得自然界对它一再青睐?自然对象的形成和生长受到周围空间和材料的影响。正六边形是能够不重叠地铺满一个平面的三种正多边形①之一。在这三种正多边形(正六边形、正方形和正三角形)中,六边形以最小量的材料占有最大面积(如图一所示)。正六边形的另一特点是它有六条对称轴(如图二所示),因此它可以经过各式各样的旋转而不改变形状。能用最小表面积包围最大容积的球也与六边形相联系。当一些球互相挨着被放入一个箱子中时(如图三所示),每一被围的球与另外六个球相切。当我们在这些球之间画出一些经过切点的线段时,外切于球的图形是一个正六边形。把这些球想像为肥皂泡,就可以对一群肥皂泡聚拢时为什么以三重联结的形式相接的原因,作出一个简化的解释。所谓三重联结,就是相交出的三个角都是120°,而120°正是一个正六边形的内角大小。

图一

图二

图三

三重联结出现在许多领域,例如玉米棒子上的谷粒构成、香蕉的内部果肉,以及干土的裂缝(如图四所示)。

图四

发现六边形在自然界中的新的存在形式,比起它们第一次在龟背上、在蜂窝里或者在晶体的形状中被发现的情形来,令人兴奋的程度毫不逊色。今天,科学家们为看到外层空间中的六边形而同样着迷。自从1987年以来,天文学家们一直集中注意于大麦哲伦云,超新星1987A就是在其中观察到的。在新星爆发之后看到气泡已经不是第一次了,但是发现气泡以蜂窝状聚集在一起则是第一次。英国曼彻斯特大学的王立帆发现了巨大到约30光年× 90光年的“蜂窝”,它由约 10光年直径的气泡约20个组成。王推测,一个由以大约相同速率演化了几千年的大小相似的星组成的星团,产生出非常大的风,使气泡呈六边形结构。

最近,观察自然界的雪花揭示了六边形对称和分形几何。雪花具有六边形的形状。此外,雪花的生长由科克雪花曲线来模拟。这个分形由一个等边三角形生成,如图五所示。

图五

由此可知,等边三角形、正六边形和分形雪花之间的关系把欧几里得几何与非欧几何联系了起来。

自然界中的对象已经提供并且还在提供着激励数学发现的模型。自然界有一种在它的创造物中达到平衡和微妙均势的方法。了解自然作品的钥匙是利用数学和科学。伽利略把这一点表达得很清楚,他说──“宇宙是用…… 数学语言写成的。”数学工具提供了我们用来试图了解、解释和再现自然现象的手段。一个发现引出下一个发现。外层空间中六边形的发现将引出什么呢?只有时间会告诉我们。

①如果一个多边形的边等长,角等大,则这多边形是正多边形。

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评论内容

李禹:
   六边形真是无处不在!